量子霍尔效应初探

摘 要

　　霍尔效应于1879年被Edwin Hall首次发现，量子霍尔效应是的霍尔效应量子化的体现，量子霍尔效应主要分为整数和分数两种类型，这两种类型的量子霍尔效应分别于1985年和1998年获诺贝尔奖，理论物理学家Chetan Nayak指出，由量子霍尔效应产生的非阿贝尔态可能成为实现拓扑量子计算机的基础[1]。然而由于量子霍尔效应的产生需要强磁和极端温度的加持，将其实际应用存在着巨大困难，2013年，薛其坤院士带领其团队发现了量子反常霍尔效应，使在零磁场条件下应用量子霍尔效应成为可能，这或许能被应用于制作低能耗的电子设备，将极大提高计算机逻辑运算单元的处理能力。本文讲主要探讨整数量子霍尔效应的成因与新千克单位制的定义。

关键词：量子霍尔效应；整数量子霍尔效应；国际千克单位制

1 量子霍尔效应

1.1 经典霍尔效应

　　考虑将固态导体置于磁场中，当有垂直于磁场的电流通过时，载流子收到洛伦兹力产生偏移，并在此方向上产生电场，以此影响后续载流子并使之受力与磁场产生的洛伦兹力平衡，这就是经典霍尔效应，由此产生的内建电压称为霍尔电压。如图1，假设载流子为电子，在导体内有沿$x$轴正向的电流$I$ ，沿z轴正向的磁场 ，霍尔效应将产生电场$E$，生电压 $V_H$

图1

　　则此时电子受力为：
$$
\vec{F_e}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})
$$
　　在平衡状态下，$\vec{F_e}=0$，有$0=E_y-v_xB_z$，若导体宽为$l$，高为$d$，则$lE_y=V_H$，综上得到
$$
V_H=v_xB_Zl
$$
　　导体中电流和$l$的关系为
$$
l=n(-e)sv=n(-e)dl(-v_x)=nedlv_x
$$
　　代入，得到
$$
V_H=\frac{I_xB_z}{ned}
$$
　　由此可见，磁场场强或流通电流越大，霍尔电压越大，即霍尔电压与磁场强度成正比。

1.2 整数量子霍尔效应的发现

　　朴素的霍尔效应是在三维空间中电子的运动情况，电子可以在导体中自由移动，物理学家通过各种手段将电子限制在了二维平面内，我们称之为电子气。1980年，K. von Klitzing等人在研究“金属-氧化物-半导体场效应晶体管”在低温强磁场的作用下的霍尔效应时，发现了下图的结果

图2

图3

　　在图2图3中，随着场强的增加，霍尔电压并没有正比增加，其横向电阻是量子化的，所以人们称这种现象为量子霍尔效应。如图2与图3，随着门电压的变化，霍尔电压出现了一系列的等值平台，设常量$k=\frac{h}{e^2}$，通过计算这些霍尔电压平台所对应的电阻，发现其阻值总在$\frac{k}{n}$附近，其中$n$为一个整数，且阻值与$\frac{k}{n}$的误差在$10^{-5}$以内。图3中的绿线代表纵向电阻，当横向电阻处于平台时，纵向电阻总是等于0。

1.3 整数量子霍尔效应的成因

　　正常导体中载流子将互相碰撞实现整体上的定向移动从而产生电流，如果外加磁场，载流子受力偏离原先轨道，碰撞导体边界，在强磁场下的电子气中，由于磁场变强，电子圆周运动的半径减小，绝大多数电子无法直接达到导体边界反弹，它们将在磁场中持续做圆周运动，有一小部分边界电子，其运动轨迹将与边界碰撞，而不会进行持续的圆周运动，所以在系统稳定后，这些电子将在边界跳跃前行，发生弹道运输现象，如下图所示。

图4

　　而由这种现象产生的电阻不与材料有关，只与电子本身相关，所以出现了$\frac{h}{ne^2}$的横向电阻。但是为什么$n$一定是整数呢？或者说为什么这些阻值一定是离散的呢？下面我们从能量的角度出发，解释量子霍尔效应的成因。

　　电子在洛伦兹力的作用下进行圆周运动，其回旋轨道会发生量子化，这样的现象叫做朗道量子化，究其能量，存在简并的朗道能级，在每一个离散的朗道能级上，电子的能量为
$$
E_n=\hbar\omega_c(n+\frac{1}{2})
$$
　　其中$\omega_c$为粒子的回旋频率，在高斯单位制下，根据
$$
\frac{mv^2}{r}=\frac{qBv}{c}, \omega=\frac{v}{r}
$$
　　可得
$$
\omega_c=\frac{qB}{mc}
$$
　　可见$\omega_c$与磁场强度有关。

　　由电子能量的表达式可以看出，只有当平均内能远小于两能级的差值的时候（$kT\ll\hbar\omega_c$），也就是说在低温强磁场下，朗道量子化才能被表现出来，当粒子为电子的时候，其每一能级容纳量常数$N$（为一整数）有如下范围

　　其中$L_x$与$L_y$为系统的范围约束，当粒子为电子的时候，回旋速率为$\omega_c=\frac{qB}{mc}$，记磁通量量子为$\phi_0=\frac{h}{2e}$
$$
0\le N \lt \frac{meBL_xL_y}{hmc}=k\frac{BL_xL_y}{\frac{h}{2e}}=k\frac{\phi}{\phi_0}
$$
　　其中$k$为一常数，其同时与粒子的自旋有关，对电子进行研究时，可见每一能级可容纳的电子数与磁通量成正比，也就是说当磁场很强的时候，每个能级能容下更多的电子，以至于几乎所有的电子都在较低能级上回旋运动，在这种状态下就出现了人们观察到的量子霍尔效应。

2 国际千克单位制

2.1 新千克单位制的定义

　　2018年，第26届国际计量大会全票通过了新千克单位的定义，1千克被定义为“对应普朗克常量为$6.62607015\times10^{-34}J·s$时的质量单位”。

2.2 新千克单位制定义的原理

　　由整数量子霍尔效应，有电阻
$$
R_k=\frac{\hbar}{e^2}
$$
　　根据约瑟夫森效应可以得到导体中电压的关系式
$$
U(t)=\phi_0\frac{\partial\varphi}{\partial t}
$$
　　更一般地，我们设
$$
U=\phi_0v
$$
　　引入基布尔秤的使用，基布尔秤通过电流和电压的测量来精确测量对象的重量，其为安培称的更精确版本，其由力的平衡$mg=BIL$为原理，由于$U=BLv$，两式结合，得到
$$
\begin{align}
mgv&=UI=\frac{U^2}{R_k}\\
&=\frac{h^2}{4e^2}\nu^2\frac{e^2}{h}\\
&=\frac{h\nu^2}{4}
\end{align}
$$
　　将$U$与$R$代入，即可得质量
$$
m=\frac{h\nu^2}{4gv}
$$
　　其中$\nu$、$g$、$v$均为已定义的可测量变量，所以我们就可以由此将千克的定义与普朗克常量联系了起来。

参考文献

[1] Non-Abelian anyons and topological quantum computation, C Nayak, SH Simon, A Stern, M Freedman, SD Sarma, 2008
[2] Quantum Hall Effects Mark O. Goerbig, 2009
[3] New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on Quantized Hall Resistance, K. V. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, 1980